2023.1 - AD2 - AII e PNC - critério de correção

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Publicado em: 2024-02-07

Álgebra II / Polinômios e Números Complexos
AD2 - Critério de Correção
Questão 1: (2,0 pontos) Resolva a equação ez
= e.
Solução:
ˆ ez
= e ⇐⇒



ex
cosy = e
ex
seny = 0
: 0,5 pontos
ˆ y = kπ, com k ∈ Z: 0,5 pontos
ˆ k ı́mpar =⇒ impossı́vel: 0,7 pontos
ˆ k par =⇒ x = 1: 0,8 pontos
ˆ exibir a solução: 0,5 pontos
Questão 2: (7,0 pontos) Dadas as funções trigonométricas complexas definidas da seguinte
forma,
senz =
eiz
− e−iz
2i
e cosz =
eiz
+ e−iz
2
,
(a) (1,0 ponto) Mostre que senz é uma função ı́mpar e cosz é uma função par.
(b) (2,0 pontos) Mostre que sen(2z) = 2senz · cosz.
(c) (2,0 pontos) Mostre que cos(2z) = cos2
z − sen2
z.
(d) (2,0 pontos) Mostre que cos

2
− z

= senz.
Solução:
(a)
ˆ saber a definição de função ı́mpar: 0,2 pontos
ˆ mostrar que sen(−z) = −senz: 0,3 pontos
ˆ saber a definição de função par: 0,2 pontos
ˆ mostrar que cos(−z) = cosz: 0,3 pontos
1
(b)
ˆ multiplicar corretamente as funções seno e cosseno, conforme a fórmula: 1,0 ponto
ˆ fazer corretamente o restante das contas: 1,0 ponto
(c)
ˆ elevar ao quadrado corretamente as funções seno e cosseno, conforme a fórmula: 1,0
ponto
ˆ fazer corretamente o restante das contas: 1,0 ponto
(d)
ˆ substituir

2
− z

corretamente na fórmula: 0,5 pontos
ˆ ei π
2 = i e e−iπ
2 = −i: 0,5 pontos
ˆ fazer corretamente o restante das contas: 1,0 ponto
2

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