2022.1 - AD2 - AII e PNC - gabarito

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Publicado em: 2024-02-07

Álgebra II / Polinômios e Números Complexos
AD2 - Gabarito
Questão 1: (2,0 pontos) Uma raiz a ∈ R de um polinômio p(x) ∈ R[x] é dita uma raiz
múltipla quando (x − a)2
divide p(x).
Mostre que a é raiz múltipla de p(x) se, e somente se, a é raiz de p(x) e da derivada p′
(x).
Solução:
ˆ Suponha que a é raiz múltipla de p(x). Então, por definição, a é raiz de p(x) e (x−a)2
divide p(x).Logo, existe q(x) tal que
p(x) = (x − a)2
q(x).
Derivando a equação acima, obtém-se
p′
(x) = 2 (a − x) q(x) + (x − a)2
q′
(x) =⇒ p′
(a) = 0
e, portanto, a é raiz também de p′
(x).
ˆ Reciprocamente, suponha que a seja raiz de p(x) e de p′
(x). Precisamos mostrar que
(x − a)2
divide p(x). Pelo algoritmo da divisão, existem q(x) e r(x) = bx + c tais que
p(x) = (x − a)2
q(x) + (bx + c) =⇒ p′
(x) = 2 (a − x) q(x) + (x − a)2
q′
(x) + b.
Como p(a) = p′
(a) = 0, segue-se que



b · a + c = 0
b = 0
=⇒ c = 0 =⇒ r(x) = 0,
ou seja, (x − a)2
divide p(x).
Questão 2: (3,0 pontos) Determine todos os valores de n para os quais x3
− 2 divide x5
+
8x3
+ 10x2
− 9x + 2 em Zn[x].
1
Solução: Efetuando a divisão de x5
+ 8x3
+ 10x2
− 9x + 2 por x3
− 2 em R[x], obtemos
x5
+ 8x3
+ 10x2
− 6x + 44 = x3
− 2

x2
+ 8

+ 12x2
− 9x + 18

.
Dessa forma, para que x3
− 2 divida x5
+ 8x3
+ 10x2
− 9x + 2 em Zn[x], devemos ter
12x2
− 9x + 18 = 0 em Zn[x], ou seja,









12 ≡ 0(mod n)
−9 ≡ 0(mod n)
18 ≡ 0(mod n)
Da primeira equação segue que n ∈ {2, 3, 4, 6, 12}. Entretanto, pela última equação, tem-se
que n ∈ {2, 3, 6, 9, 18}. Dessa forma, os possı́veis valores de n são 2, 3 e 6. Analisando a
segunda equação para esses valores de n, temos
−9 ≡ 1(mod 2)
−9 ≡ 0(mod 3)
−9 ≡ 3(mod 6).
Conclusão: n = 3.
Questão 3: (2,0 pontos)
(a) (1,0 ponto) Seja p(x) ∈ Q[x]. Prove que se f(x) = p(x + a) (com a ∈ Z) é irredutı́vel
em Q[x], então p(x) é irredutı́vel sobre Q.
(b) (1,0 ponto) Prove que p(x) = x4
+ 7x3
+ 3x2
+ x − 2 é irredutı́vel em Q[x].
Solução:
(a) A prova será por absurdo. Para isso, suponha que p(x) seja redutı́vel em Q[x], ou
seja, que existam g(x), h(x) ∈ Q[x] tais que
p(x) = g(x)h(x), com gr(g(x)) ≥ 1 e gr(h(x)) ≥ 1.
Assim,
f(x) = p(x + a) = g(x + a)h(x + a).
Dessa forma, como gr(g(x + a)) = gr(g(x)) ≥ 1 e gr(h(x + a)) = gr(h(x)) ≥ 1, segue-se que
f(x) é redutı́vel em Q[x], contradizendo a hipótese do exercı́cio.
2
Conclusão: p(x) é irredutı́vel em Q[x].
(b) Vamos utilizar o resultado do item anterior com a = −1.
f(x) = p(x − 1) = (x − 1)4
+ 7(x − 1)3
+ 3(x − 1)2
+ (x − 1) − 2
= x4
+ 3x3
− 12x2
+ 12x − 6.
Aplicando o Critério de Eisenstein com o primo 3, tem-se
ˆ 3 | 3, 3 | 12 e 3 | 6
ˆ 3 ∤ 1
ˆ 32
∤ 6
e, portanto, f(x) é irredutı́vel em Q [x]. Dessa forma, segue do item (a), que p(x) é irredutı́vel
em Q [x].
Questão 4: (3,0 pontos)
(a) (1,5 pontos) Sejam p(x) ∈ Z[x] mônico e p(x) a sua classe em Zn[x], para algum
n ∈ N. Mostre que se p(x) é irredutı́vel em Zn[x], então p(x) é irredutı́vel em Z[x].
(b) (1,5 pontos) Mostre que
p(x) = x3
− 15x2
+ 11x − 84
é irredutı́vel em Z[x].
Solução:
(a) A demonstração será por contradição. Para isso, vamos supor que p(x) é redutı́vel
em Z[x] e concluir que p(x) é redutı́vel em Zn[x].
Seja m o grau de p(x). Pela hipótese de redutibilidade, existem q(x), g(x) ∈ Z[x] tais que
1 ≤ grau(q(x)), grau(g(x)) < m
e
p(x) = q(x)g(x).
Dessa forma, considerando a classe em Zn[x], temos que
p(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x).
3
ˆ Como grau(q(x)), grau(g(x)) < m, então
grau(q(x)), grau(g(x)) < m.
ˆ Por outro lado, como p(x) é mônico e 1 ̸= 0, qualquer que seja Zn, então grau

p(x)

=
m e, portanto,
grau

q(x)

+ grau

g(x)

= m.
Dessa forma, obtemos que 1 ≤ grau(q(x)), grau(g(x)) e, portanto, p(x) é redutı́vel em
Zn[x], contradizendo a hipótese do exercı́cio.
Concusão: p(x) é irredutı́vel em Z[x]
(b) Vamos considerar a classe p(x) em Z5[x]. Nesse caso, temos:
p(x) = x3
+ x − 4.
Como grau

p(x)

= 3, basta verificarmos se p(x) possui raiz em Z5. Calculando a imagem
de cada elemento de Z5 obtemos
p(0) = 1, p(1) = 3, p(2) = 1, p(3) = 1, p(4) = 4
e, assim, concluı́mos que p(x) é irredutı́vel em Z5[x]. Segue do item (a) que p(x) é irredutı́vel
em Z[x].
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