2006.2 - [116771] AP1 AII Soluções (novo)

Documento: pdf (5 páginas) 77.9 KB
Publicado em: 2024-02-07

Solução da 1.a
Avaliação Presencial de Álgebra II
Questão 1
a)[1.5 pt ] Seja Z

2 = {a + b

2 ; a , b ∈ Z}. Considere o anel
(Z

2, +, .) cujas operações + e . são definidas por : (a + b

2) +
(c+d

2) = a+c+(b+d)

2 e (a+b

2)·(c+d

2) = ac+2bd+
(ad + bc)

2.
Prove que I = (2+

2)Z

2 = {(2+

2)x; x ∈ Z

2} é um ideal
de (Z

2, +, .).
Solução
i) 0 = (2 +

2)0 ∈ I 6= ∅.
ii) Se x, y ∈ I, existem a, b ∈ Z

2 tais que x = (2 +

2)a e
y = (2 +

2)b. Logo x + y = (2 +

2)a + (2 +

2)b =
(2 +

2)(a + b) ∈ I, pois (a + b) ∈ Z

2 .
iii) Sejam x = (2 +

2)a ∈ I e b ∈ Z

2. Temos:
xb = ((2 +

2)a)b = (2 +

2)ab ∈ I, pois (ab) ∈ Z

2 .
Resulta de i), ii) e iii) que I é ideal de R. ¤
b)[1 pt ] Sejam (A, +, .) um anel e ϕ : A → A um homomorfismo.
Prove que R = {a ∈ A ; ϕ(a) = a} é um subanel de R.
Solução
i) Como ϕ(0) = 0, temos 0 ∈ R 6= ∅.
ii) Sejam a, b ∈ R. Temos:
ϕ(a) = a e ϕ(b) = b ⇒ ϕ(a − b) = ϕ(a) − ϕ(b) = a − b e
ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) = a · b, portanto a − b e a · b ∈ R.
Resulta de i) e ii) que R é subanel de A. ¤
Questão 2
Considere o ideal I =

0, 3
ª
de Z6 .
a)[0.5 pt ] Seja ≡ (mod I) a relação de equivalência definida por:
a ≡ b (mod I) ⇔ a − b ∈ I. Determine as classes de equivalência
desta relação.
Solução
Há três classes de equivalência determinadas por ≡ (mod I) :
x = 0 + I = {0, 3}, y = 1 + I = {1, 4} e z = 2 + I = {2, 5}.
b)[1.0 pt ] Determine as tabelas das operações + e . do anel quociente
Z6/I.
Solução
As tabelas das operações + e . do anel Z6/I são :
+ x y z
x x y z
y y z x
z z x y
e
. x y z
x x x x
y x y z
z x z y
c)[0.5 pt ] Prove que Z6/I é um corpo.
Solução
Temos Z6/I − {0} = {y, z}. Examinando a tabela da operação .,
vemos que y é a unidade de Z6/I e que o inverso de z é o próprio
z, pois zz = y. Portanto, Z6/I é um corpo. ¤
Questão 3
Seja R =
½·
a −b
b a
¸
; a, b ∈ R
¾
. Considere o anel (R, +, .), onde +
e . são a soma e o produto das matrizes reais 2x2. Defina ϕ : R → C
por ϕ
µ·
a −b
b a
¸ ¶
= a + bi.
a)[1.0 pt ] Prove que a função ϕ é um homomorfismo de anéis.
Solução
Sejam
·
a −b
b a
¸
e
·
c −d
d c
¸
∈ R. Temos:
i) ϕ
µ·
a −b
b a
¸
+
·
c −d
d c
¸¶
= ϕ
µ·
a + c −(b + d)
b + d a + c
¸¶
= a + c + (b + d)i = (a + bi) + (c + di) =
ϕ
µ·
a −b
b a
¸¶
+ ϕ
µ·
c −d
d c
¸¶
.
ii) ϕ
µ·
a −b
b a
¸
·
·
c −d
d c
¸¶
= ϕ
µ·
ac − bd −(ad + bc)
ad + bc ac − bd
¸¶
= ac − bd + (ad + bc)i.
Mas (a + bi).(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i, logo
ϕ
µ·
a −b
b a
¸
·
·
c −d
d c
¸¶
= ϕ
µ·
ac − bd −(ad + bc)
ad + bc ac − bd
¸¶
= (a + bi).(c + di) = ϕ
µ·
a −b
b a
¸¶
· ϕ
µ·
c −d
d c
¸¶
.
Resulta de i) e ii) que ϕ é homomorfismo. ¤
b)[0.5 pt ] Determine o núcleo de ϕ.
Solução
Seja N(ϕ) o núcleo de ϕ. Se
·
a −b
b a
¸
∈ N(ϕ), temos 0 =
ϕ
µ·
a −b
b a
¸¶
= a + bi ⇒ a = b = 0. Portanto, N(ϕ) =
½·
0 0
0 0
¸¾
(núcleo trivial).
c)[0.5 pt ] Prove que a função ϕ é sobrejetora e conclua que R e C
são isomorfos.
2
Solução
Dado a+bi ∈ C, temos ϕ
µ·
a −b
b a
¸¶
= a+bi, o que mostra que
ϕ é sobrejetora. Além disto , resulta do item b) que ϕ é injetora,
portanto ϕ é um isomorfismo. ¤
Questão 4 [1.0 pt ]
Determine todos os homomorfismos ϕ : 3Z → 5Z.
Solução
Sejam ϕ : 3Z → 5Z um homomorfismo e ϕ(3) = k ∈ 5Z. Temos
ϕ(9) = ϕ(3 + 3 + 3) = ϕ(3) + ϕ(3) + ϕ(3) = k + k + k = 3k e
ϕ(9) = ϕ(3.3) = ϕ(3).ϕ(3) = k.k = k2
, o que implica 3k = k2
⇒ k = 0
ou k = 3.
Como 3 /
∈ 5Z, segue-se que k = 0, ou seja, ϕ(3) = 0 ⇒ ϕ(3k) =
ϕ(3).ϕ(k) = 0. Assim, o único homomorfismo ϕ : 3Z → 5Z é o homo-
morfismo trivial ϕ(k) = 0, ∀k ∈ 3Z.
Questão 5
Considere as seguintes definições:
• um elemento a ∈ R é chamado unidade se existe b ∈ R tal que
ab = 1. ( As unidades são elementos que possuem inverso para a
operação · )
• um elemento a ∈ R é chamado irredutı́vel se a não é uma
unidade e sempre que tivermos a = bc com b, c ∈ R, então ou
b ou c é uma unidade de R.
• um elemento a ∈ R, a 6= 0, é chamado redutı́vel se a não é irre-
dutı́vel, ou seja, existem b, c ∈ R tais que b e c não são unidades
e a = bc.
a)[0.5 pt ] Determine as unidades de Z10 .
Solução
As unidades de Z10 são i tal que i é primo com 10, ou seja, 1, 3, 7, 9.
b)[0.5 pt ] Determine os elementos irredutı́veis de Z12 .
Solução
As unidades de Z12 são i tal que i é primo com 12, ou seja,
1, 5, 7, 11. Além disto, temos 3 ≡ 3.9 (mód 12) ; 4 ≡ 2.2 (mód 12) ;
6 ≡ 2.3 (mód 12) ; 8 ≡ 2.4 (mód 12) ; 9 ≡ 3.3 (mód 12), portanto,
3, 4, 6, 8 e 9 não são irredutı́veis. Vamos verificar a irredutibilidade
de 2 de duas maneiras.
1.a
maneira. Para verificarmos a irredutibilidade de 2 em Z12,
precisamos determinar se existem x, y ∈ Z12 tais que x e y não
são unidades e 2 = x y, ou seja, se existem inteiros x, y que não
são primos com 12 e satisfazem 2 ≡ xy (mód 12) ⇒ existe k ∈ Z
tal que 2 = xy + 12k (i).
3
Suponhamos que mdc(x, 12) = m ≥ 2. Resulta de (i) que m di-
vide 2 ⇒ m = 2 ⇒ x é par, ou seja, x = 2k1 , k1 ∈ Z.
Aplicando os mesmos argumentos, concluı́mos que y também é
par, isto é, y = 2k2 , k2 ∈ Z. Substituindo estes resultados em
(i), obtemos 2 = 2k12k2 + 12k = 4k1k2 + 12k ⇒ 4 divide 2, um
absurdo.
Assim, um dos números x ou y deve ser primo com 12, o que
mostra que sempre que tivermos 2 = x y, então ou x ou y é unidade
e 2 é elemento irredutı́vel de Z12.
Para verificarmos a irredutibilidade de 10 em Z12, basta obser-
varmos que 10 = −2, portanto, a irredutibilidade de 2 implica a
irredutibilidade de 10.
2.a
maneira. Para verificarmos se 2 é irredutı́vel, escrevamos
2 ≡ b.c (mód 12) , b, c ∈ {0, . . . , 11}. Como 2 e 12 são pares, pelo
menos um dos números b ou c deve ser par.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que b seja par, ou seja,
b = 2k. Temos 2 ≡ 2k.c ≡ 2(k.c) (mód 12) , k, c ∈ {0, . . . , 11}.
Observando a tabela da operação · em Z12, vemos que os resulta-
dos do produto por 2 são:
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
Assim k.c ≡ 1 (mód 12) ou k.c ≡ 7 (mód 12), o que mostra que 2
é irredutı́vel em Z12.
Para mostrarmos que 10 é irredutı́vel em Z12, basta observarmos
que 10 ≡ −2 (mód 12), portanto −2 é irredutı́vel em Z12 se, e
somente se, 2 é irredutı́vel em Z12.
Logo os irredutı́veis em Z12 são 2 e 10.
c)[0.5 pt ] Determine os elementos redutı́veis de Z5.
Solução
Como Z5 é corpo, Z5 não possui elementos redutı́veis.
Questão 6
a)[0.5 pt ] Determine as raı́zes em Z3 do polinômio p(x) = x15
+2x11
+
2x6
+ 2x2
+ 2 ∈ Z3[x].
Solução
Temos: p(0) = 2, p(1) = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 9 = 0, p(2) = p(−1) =
−1 + −2 + 2 + 2 + 2 = 3 = 0. Portanto, as únicas raı́zes em Z3
são 1 e 2.
b)[0.5 pt ] Determine o polinômio p(x) ∈ Z3[x] tal que x3
+x2
+x+2 =
p(x) · (3x2
+ x + 4).
4
Solução
Inicialmente, observe que 3x2
+x+4 = x+1 em Z3[x], logo devemos
determinar um polinômio p(x) do 2.o
grau, p(x) = ax2
+ bx + c,
tal que x3
+x2
+x+2 = (ax2
+bx+c)·(x+1) = ax3
+(a + b)x2
+
(b + c)x + c ⇒ (∗)









(i) a = 1
(ii) a + b = 1
(iii) b + c = 1
(iv) c = 2
.
Resulta de (i) e (ii) que b = 0. Substituindo b = 0 em (iii) obtemos
c = 1 o que contradiz (iv). Isto mostra que o sistema ∗ não possui
solução.
Portanto, não existe p(x) ∈ Z3[x] tal que x3
+ x2
+ x + 2 =
p(x) · (3x2
+ x + 4).
Aviso Importante
Prezados alunos, devido à inexistência de p(x) ∈ Z3[x] tal que
x3
+ x2
+ x + 2 = p(x) · (3x2
+ x + 4) no item b) da Questão
6, será somado 0.5 ponto a todas as notas da AP1 de Álgebra II.
5

mostrar mais »

Comentários para: 2006.2 - [116771] AP1 AII Soluções (novo)