2010.2 - AD2 aii gabarito

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Publicado em: 2024-02-07

2a
Avaliação a Distância de Álgebra II
1a
Questão
a) Seja Z

2 = {a + b

2 | a , b ∈ Z}. Considere o anel (Z

2, +, .) cujas
operações + e . são definidas por:
(a + b

2) + (c + d

2) = a + c + (b + d)

2 e
(a + b

2) · (c + d

2) = ac + 2bd + (ad + bc)

2.
Prove que a função φ : Z

2 → Z

2, definida por φ(a+b

2) = a−b

2,
é um isomorfismo entre anéis. (2,0 pontos)
Solução
Sejam a + b

2 e c + d

2 ∈ Z

2. Temos:
i) φ((a+b

2)+(c+d

2)) = φ(a+c+(b+d)

2) = a+c−(b+d)

2 =
(a − b

2) + (c − d

2) = φ(a + b

2) + φ(c + d

2).
ii) φ((a + b

2).(c + d

2)) = φ(ac + 2bd + (ad + bc)

2) = ac + 2bd −
(ad + bc)

2.
Como (a − b

2).(c − d

2) = ac + 2bd − (ad + bc)

2, temos
φ((a + b

2).(c + d

2)) = (a − b

2).(c − d

2) =
φ(a + b

2)φ(c + d

2).
Resulta de i) e ii) que φ é homomorfismo.
Para provarmos que φ é um isomorfismo, vamos mostrar que φ é a
própria inversa, ou seja, que φ ◦ φ(a + b

2) = (a + b

2).
Temos φ ◦ φ(a + b

2) = φ(a − b

2) = a + b

2. Isto completa nossa
prova. 
b) Seja p(x) ∈ Z[x]. Prove que se a + b

2 ∈ Z

2 é raiz de p(x), então
a − b

2 é também raiz de p(x). (1,0 ponto)
Solução
Seja p(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ . . . + aixi
+ . . . + a1x + a0 ∈ Z[x].
Se a + b

2 é raiz de p(x), então 0 = p(a + b

2) = an(a + b

2)n
+
an−1(a + b

2)n−1
+ . . . + ai(a + b

2)i
+ . . . + a1(a + b

2) + a0 ⇒ 0 =
φ(0) = φ(an(a + b

2)n
+ an−1(a + b

2)n−1
+ . . . + ai(a + b

2)i
+ . . . +
a1(a+b

2)+a0) = φ(an)φ((a+b

2)n
)+φ(an−1)φ((a+b

2)n−1
)+. . .+
φ(ai)φ((a + b

2)i
) + . . . + φ(a1)φ(a + b

2) + φ(a0) = an(a − b

2)n
+
an−1(a−b

2)n−1
+. . .+ai(a−b

2)i
+. . .+a1(a−b

2)+a0 = p(a−b

2)
, pois φ(k) = k, e φ((a+b

2)n
) = (φ(a+b

2))n
, ∀k, n ∈ Z. Portanto,
a − b

2 é raiz de p(x). 
c) Determine as raı́zes complexas de p(x) = x4
−x3
−2x2
−3x−1, sabendo
que 1 +

2 é uma dessas raı́zes. (1,0 ponto)
Solução
Sabemos pelo item b) que 1 −

2 também é raiz de p(x), portanto,
p(x) é divisı́vel por g(x) = x2
− 2x − 1. Temos
x4
−x3
−2x2
−3x −1 x2
−2x −1
−x4
+2x3
+x2
x2
+x +1
x3
−x2
−3x
−x3
+2x2
+x
x2
−2x −1
−x2
+2x +1
0
O polinômio do 2o
grau f(x) = x2
+ x + 1 tem raı́zes
−1 ±

3i
2
.
Assim, as raı́zes complexas de p(x) são 1 ±

2 e
−1 ±

3i
2
.
2a
Questão
a) Prove que p(x) = x3
+ x + 7 é irredutı́vel sobre Z13. (1,0 ponto)
Solução
Como p(x) tem grau 3, para provarmos que p(x) é irredutı́vel basta
mostrarmos que p(x) não possui raiz em Z13.
Temos p(0) = 7, p(1) = 9, p(2) = 4, p(3) = 11, p(4) = 10, p(5) = 7,
p(6) = 8, p(−1) = 5, p(−2) = 10, p(−3) = 3, p(−4) = 4, p(−5) =
7, p(−6) = 6.
Isto mostra que p(x) não tem raiz em Z13 e completa a nossa prova. 
b) Construa um corpo 2197 elementos. (1,0 ponto)
Solução
Seja ⟨p(x)⟩ o ideal gerado por p(x) = x3
+ x + 7.
Como p(x) é irredutı́vel sobre Z13 o anel quociente Z13[x]/ ⟨p(x)⟩ =
{ax2
+ bx + c + ⟨p(x)⟩ ; a, b, c ∈ Z13} é um corpo com 13.13.13 = 133
=
2197 elementos.
3a
Questão
a) Considere no conjunto Q dos números racionais a relação ∼ definida
por:
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Z.
Prove que ∼ é relação de equivalência. (1,0 ponto)
Solução
i) ∼ é reflexiva, pois 0 = x − x ⇒ x ∼ x.
ii) ∼ é simétrica, pois se x ∼ y, então x − y = k ∈ Z ⇒ y − x =
−k ∈ Z ⇒ y ∼ x.
iii) Sejam x, y, z ∈ Q tais que x ∼ y e y ∼ z. Temos x − y = k1
e y − z = k2, k1, k2 ∈ Z. Logo x − z = (x − y) + (y − z) =
k1 + k2 ∈ Z ⇒ x ∼ z e mostra que ∼ é transitiva.
Resulta de i), ii) e iii) que ∼ é relação de equivalência. 
2
b) Seja Q/Z o conjunto das classes de equivalência determinadas por
∼, ou seja, Q/Z = {x | x ∈ Q}. Determine 5 elementos da classe
113
23
. (1,0 ponto).
Solução
Temos
113
23
= 5 −
2
23
, logo
113
23
= {−
2
23
+ k | k ∈ Z} e podemos,
por exemplo, escolher −
2
23
,
21
23
,
44
23
,
67
23
,
90
23
.
c) O conjunto Q/Z munido da operação ⊕ definida por a⊕b = a + b
é um grupo. Prove que esse grupo é abeliano e determine seu
elemento neutro. (1,0 ponto)
Solução
Sejam a, b ∈ Q/Z. Temos b⊕a = b + a. Mas 0 = (b+a)−(a+b) ⇒
b + a ∼ a + b ⇒ b + a = a + b ⇒ b ⊕ a = a ⊕ b e mostra que Q/Z
é abeliano.
Seja e o elemento neutro de Q/Z.
Temos a = a+e = a + e, ∀a ∈ Q/Z ⇒ e = a+e−a ∈ Z ⇒ e = Z.
d) Determine o inverso de −
13
17
para a operação ⊕ do grupo Q/Z.
(1,0 ponto)
Solução
Seja b o inverso de a para a operação ⊕ do grupo Q/Z.
Vimos no item c) que Z = 0 é o elemento neutro de Q/Z, logo
devemos ter: b ⊕ a = a + b = 0 e podemos tomar b = −a.
Portanto, o inverso de a para a operação ⊕ do grupo Q/Z é −a e,
em particular,
13
17
é o inverso de −
13
17
para a operação ⊕ do grupo
Q/Z.
3

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