2022.2 - AP1 - A2 e PNC - gabarito

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Publicado em: 2024-02-07

Álgebra II / Polinômios e Números Complexos
AP1 - Gabarito
Questão 1: (1,0 ponto) Determine a unidade do corpo A = (R, ⊕, ⊙), munido das seguintes
operações:
x ⊕ y = x + y − 2 e x ⊙ y = x + y −
1
2
xy.
Solução:
Se x é um inteiro qualquer, então
x ⊙ 1A = x ⇐⇒ x + 1A −
1
2
x · 1A = x ⇐⇒ 1A ·

1 −
x
2

= 0.
Como x é qualquer, então 1 −
x
2
não é necessariamente igual a 0 e, portanto, 1A = 0.
Questão 2: (1,0 ponto) Determine o inverso do elemento 6 no corpo A = (R, ⊕, ⊙), munido
das seguintes operações:
x ⊕ y = x + y − 2 e x ⊙ y = x + y −
1
2
xy.
Solução:
6 ⊙ x′
= 1A ⇐⇒ 6 + x′

1
2
6x′
= 0 ⇐⇒ −2x′
= −6 ⇐⇒ x′
= 3
Questão 3: (1,0 ponto) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para a afirmação abaixo.
Demonstre se julgá-la verdadeira e apresente um contra-exemplo se julgá-la falsa.
”O conjunto dos números irracionais é um subanel dos reais.”
Solução: Falsa
Não é fechado para o produto pois, por exemplo,

2 e

8 são irracionais, mas



8 = 4
não é.
Questão 4: (1,0 ponto) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para a afirmação abaixo.
Demonstre se julgá-la verdadeira e apresente um contra-exemplo se julgá-la falsa.
1
”Se (A, +, ·) é um anel e a, b, c ∈ A são tais que a · b = a · c e a ̸= 0, então b = c.”
Solução: Falsa
Considere A = Z6, a = 3, b = 2 e c = 4. Nesse caso,
a · b = a · c = 0 e a ̸= 0, mas b ̸= c.
Questão 5: (1,0 ponto) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para a afirmação abaixo.
Demonstre se julgá-la verdadeira e apresente um contra-exemplo se julgá-la falsa.
”Se φ : Z6 −→ Z6 é um homomorfismo tal que φ 5

= 2, então φ 1

= 4”
Solução: Verdadeira
Como φ é um homomorfismo, temos
φ 1

= φ 5 · 5

= φ 5

· φ 5

= 2 · 2 = 4.
Questão 6: (1,0 ponto) Efetue a divisão e simplifique a expressão
1 +

3i

3 − i
Solução:
z1
z2
= z1
z2
|z2|2
= (1 +

3i)

3
4
+
1
4
i
!
= 1 ·

3
4


3 ·
1
4
!
+ 1 ·
1
4
+

3 ·

3
4
!
i = i
Questão 7: (1,5 pontos) Escreva o complexo z =

3 + i na forma polar e, em seguida,
determine z7
.
Solução: Inicialmente, vamos escrever z =

3 + i na forma polar. Note que
ρ =
r√
3
2
+ 12 =

4 = 2
e 






cos(θ) =
Re(z)
ρ
=

3
2
sin(θ) =
Im(z)
ρ
=
1
2
=⇒ θ =
π
6
.
Logo
z = 2

cos

6

+ i sin

6

.
2
Pela Fórmula de De Moivre, tem-se que:
z7
= 27

cos

7 · π
6

+ i sin

7 · π
6

= 128 −

3
2

1
2
i
!
= −64

3 − 64i.
Questão 8: (2,0 pontos) Determine as raı́zes da equação x3
+ i = 0.
Solução: Note inicialmente que
x3
+ i = 0 ⇐⇒ x = 3

−i
Escrevendo −i na Forma Polar, temos:
−i = cos


2

+ i sin


2

e, portanto,
3

−i = cos
 3π
2
+ 2kπ
3

+ i sin
 3π
2
+ 2kπ
3

= cos

π
2
+
2kπ
3

+ i sin

π
2
+
2kπ
3

com k = 0, 1, 2.
ˆ k = 0: cos

2

+ i sin

2

= i
ˆ k = 1: cos


6

+ i sin


6

= −

3
2

1
2
i
ˆ k = 2: cos

11π
6

+ i sin

11π
6

=

3
2

1
2
i
Questão 9: (0,5 pontos) Esboce o polı́gono cujos vértices representam as raı́zes da equação
x3
+ i = 0.
Solução:
As raı́zes da equação são os vértices de um triângulo equilátero, inscrito na circunferência
centrada na origem e de raio 1, de modo que um desses vértices corresponde ao arco de medida
i, conforme figura abaixo:
3
4

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